Соглашение А. Эйнштейна

В тензорном анализе, в частности в его приложениях к общей теории относительности и дифференциальной геометрии, при записи выражений из многокомпонентных величин, пронумерованных верхними и нижними индексами (тензоров), для экономии записи бывает удобно использовать правило, называемое соглашением Эйнштейна: если одна и та же буква в обозначении индекса встречается и сверху, и снизу, то такой член полагается просуммированным по всем значениям, которые может принимать этот индекс. Например, в выражении

буква i встречается и сверху, и снизу, поэтому это выражение считается эквивалентным сумме

Точнее

где n — размерность пространства, на котором определены a и b (здесь предполагается, что нумерация координат начинается с единицы).

[править]Замечание                                                                                                    

В некоторых случаях^[1] (если метрический тензор полагается всегда равным ) верхние и нижние индексы в формулах не различают. В таком случае суммирование ведётся по любой паре повторяющихся индексов, встречающихся в одном и том же произведении тензоров. Например, в 

Используя стандартное соглашение Эйнштейна, следовало бы писать .

[править]Примечания

1. ↑ Например, в теории упругости. См. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.VII. Теория упругости. — М.: Наука, 1987.